Geboren in Velbert besuchte Welt von 1961 bis 1963 die Handelsschule und machte anschließend bis 1966 eine Ausbildung als Industriekaufmann. Im Jahre 1967 legte er die Bildungsreifeprüfung ab und studierte bis 1971 Sozialarbeit, danach bis 1975 Sozialwissenschaften. Im Anschluss daran leitete er das Mediendidaktische Zentrum der Westfälischen Berggewerkschaftskasse. Von 1983 bis 1987 war Welt Leiter der Schulverwaltung der bergbaulichen Schulen und Verwaltungsdirektor der Fachhochschule Bergbau Bochum. Seit 1987 war er Abteilungsleiter bei der Deutschen Montantechnologie und Geschäftsführer der Gesellschaft für Energietechnik.

Ab 1975 war Welt Ratsmitglied (SPD), 1985 bis 1986 Fraktionsvorsitzender und von 1987 bis 1998 Bürgermeister von Recklinghausen. Welt war vom 20. Dezember 1990 bis zum 22. Oktober 2004 Mitglied des Deutschen Bundestages (SPD) und wurde im Wahlkreis Recklinghausen I direkt gewählt. In seine Amtszeit fallen u.a. die Gründung der Städtepartnerschaft Recklinghausen–Schmalkalden (1989), die erste Reform der Ruhrfestspiele und der Umbau des Festspielhauses, die Aufnahme des Studienbetriebs an der Fachhochschulabteilung Recklinghausen (1995), die Gründung der „Neuen Westfälischen Philharmonie (1996), die Neugestaltung der Altstadt als Fußgängerzone und die Einweihung der neuen Synagoge am Polizeipräsidium (1997).

Von 1998 bis 2002 war Welt Beauftragter der Bundesregierung für Aussiedlerfragen, von 2002 bis 2004 zusätzlich Beauftragter für Nationale Minderheiten. Am 10. Oktober 2004 wurde Jochen Welt zum Landrat des Kreises Recklinghausen gewählt, weshalb er am 22. Oktober desselben Jahres sein Bundestagsmandat niederlegte. In diese Amtszeit fielen insbesondere der Bau und die Inbetriebnahme der neuen Berufskollegs in Recklinghausen (2008).

Welt erklärte im Februar 2008, aus persönlichen Gründen zur Kommunalwahl 2009 nicht erneut als Landrat zu kandidieren. Nach Beendigung seiner politischen Laufbahn war Welt von August 2014 bis März 2017 Geschäftsführer der Otto Benecke Stiftung e.V.