Geboren in Hengsbeck (Kreis Meschede) war Dünnebacke, der eine Lehrerausbildung absolvierte, von 1917 bis 1926 zunächst Stadtverordneter der Zentrumspartei in Recklinghausen. Im August 1920 wurde er zunächst provisorisch, im März 1921 auch regulär zum besoldeten Beigeordneten für das Amt Recklinghausen für die Aufgabenbereiche Jugend, Gesundheit, Soziales ernannt.

Von 1926 bis 1930 war er Mitglied im „Reichsbanner Schwarz-Rot-Gold“, daneben auch Vorsitzender des Verbandes der Kommunalbeamten in der Provinz Westfalen. Im Frühjahr 1926, nach Auflösung der Landgemeinde Recklinghausen, wechselte Dünnebacke zunächst als sog. Magistratsrat zur Stadt Recklinghausen und wurde im April 1927 auf zwölf Jahre zum besoldeten Stadtrat und Magistratsmitglied insbesondere für den Bereich des Wohlfahrts- und Gesundheitswesens gewählt (Amtseinführung am 17. Juni 1927). Von 1927 bis 1933 fungierte er als hauptamtlicher Stadtrat.

Nach Übergriffen auf seine Person seitens der SA im März 1933 blieb Dünnebacke ab April dieses Jahres den Magistratssitzungen fern. Am 31. Juli 1933 erfolgte auf Betreiben des Stadtverordnetenvorstehers Franz Rottmann (NSDAP, siehe dort) ein Magistratsbeschluss auf zwangsweise Versetzung in den Ruhestand, und zwar mit Wirkung zum 1. Januar 1934. Ab 1936 leitete Dünnebacke, der bis Mai 1933 der Zentrumspartei angehört hatte, die Steuerkasse der katholischen Kirchengemeinden in Recklinghausen.

Im Juni 1945 wurde Dünnebacke vom kommissarisch ernannten Oberbürgermeister Josef Hellermann (siehe dort) in den informellen Verwaltungsbeirat der Stadt Recklinghausen berufen. Im Herbst 1945 gehörte er zu den Gründungsmitgliedern der CDP/CDU Recklinghausen und war von 1947 bis 1948 Mitglied des Stadtrates sowie kommissarischer Fraktionsvorsitzender der CDU Recklinghausen. Unmittelbar am Beginn seiner Zeit als Oberbürgermeister stehen die Ergebnisse der zweiten Kommunalwahl der Nachkriegszeit im Oktober 1948, aus der heraus er ins Amt gewählt und – gemäß revidierter Deutscher Gemeindeordnung von 1946 – jährlich durch die Stadtverordnetenversammlung wiedergewählt wurde (in Geltung bis November 1952).

Unmittelbar nach Ende seiner Amtszeit wurde Dünnebacke von Oktober 1952 bis Oktober 1956 erneut zum CDU-Fraktionsvorsitzenden im Rat der Stadt Recklinghausen gewählt. 1953 empfing er das Bundesverdienstkreuz, 1957 auch Recklinghausens Große Stadtplakette.