Geboren in Linderode, Landkreis Sorau (Niederlausitz), besuchte Irrgang bis 1906 die Handelsschule in Sorau und machte von 1906 bis 1909 eine Zahntechnikerlehre in Berlin. Anschließend arbeitete er als Zahntechniker in Forst, Königsberg und Tilsit und von 1911 bis 1933 in Bielefeld. Irrgang erhielt im Ersten Weltkrieg das Eiserne Kreuz II. Klasse. Am 1. Oktober 1929 trat Irrgang der NSDAP und zugleich auch der SA bei. Nach dem Parteiwechsel war er NSDAP-Stadtverordneter und Stadtverordnetenvorsteher in Bielefeld. In der NSDAP stieg er bis zum Gauamtsleiter für Kommunalpolitik im Gau Westfalen-Nord (seit Juli 1930) auf, in der SA bis zum Sturmbannführer ehrenhalber. Er war Schriftleiter der kommunalpolitischen Partei-Zeitschrift „Die nationalsozialistische Gemeinde“, Vorsitzender des Westfälischen und Vorstandsmitglied des Deutschen Gemeindetags. Zudem verdankt er seiner Parteizugehörigkeit seine Mitgliedschaften im Reichstag ab 1933 und im Westfälischen Provinzialrat ab 1937.

Seit dem 5. August 1933 war Irrgang Oberbürgermeister in Bottrop und wurde durch Erlass des Preußischen Ministers des Inneren vom 22. Dezember 1934 zum Jahresbeginn 1935 Oberbürgermeister von Bocholt. In seine Bocholter Amtszeit fielen das Novemberpogrom 1938 und die Arisierung Bocholter Geschäfte und Firmen. Am 6. Juni 1939 trat er das Amt des Oberbürgermeisters von Recklinghausen an, in das er durch Erlass des Oberpräsidenten der Provinz Westfalen Alfred Meyer (zugleich auch Gauleiter Westfalen-Nord) vom 23. Juni 1939 mit Wirkung zum 1. Juli 1939 berufen wurde. In seine Amtszeit fällt die vollständige Deportation der Recklinghäuser Juden Ende Januar 1942 nach Riga.

Formal endete seine Tätigkeit mit der Eroberung Recklinghausens durch US-Truppen Anfang April 1945, doch hatte er faktisch bereits im Februar sein Amt aufgegeben, indem er sich mit unbekanntem Aufenthaltsort krankgemeldet hatte. Vom 19. Mai 1945 bis zum 17. Februar 1948 saß Irrgang im britischen Interniertenlager Fallingbostel (Niedersachsen) ein. 1948 wurde er von der Spruchkammer Benefeld-Bomlitz zu 30 Monaten Haft und einer Geldstrafe verurteilt, ein von Irrgang angestrengtes Berufungsverfahren scheiterte in Göttingen 1949. Im Entnazifizierungsverfahren wurde er in die Kategorie III eingestuft. Im selben Jahr verzog er nach Northeim, zwischenzeitlich wohnte er auch in Darup (Kreis Coesfeld). Dort Parteimitgliedschaft in der FDP, wo er Vorsitzender des kommunalpolitischen Ausschusses des Landesverbandes Niedersachsen und Leiter des kommunalpolitischen Referats des Kreisverbandes Northeim-Duderstadt war. Ein seit Ende 1949 bestehender Streit Irrgangs mit der Stadt Recklinghausen über den Anspruch auf ein Ruhestandsgehalt aus dem Beamtenverhältnis blieb unentschieden.